Abstract:
|
En els darrers anys, un dels camps cient´ıfico-t`ecnics que m´es s’ha desenvolupat ´es el de la
bioenginyeria. En particular, les matem`atiques aplicades a la biologia han proporcionat
resultats destacables, mitjan¸cant t´ıpicament m`etodes estoc`astics i equacions diferencials.
Un exemple d’aix`o s´on els canals i`onics, que uneixen el citoplasma de les c`el·lules amb el
medi on aquestes es mouen, permetent que els ions abandonin la c`el·lula.
En aquest projecte final de carrera s’estudia aquest proc´es d’escapament, tot englobantlo
en el cas general del problema d’escapament per a m´ultiples part´ıcules Brownianes, tant
puntuals com finites, que es mouen en un domini acotat (el citoplasma) amb una frontera
reflectant que disposa d’un conjunt de finestres absorbents (les entrades als canals i`onics),
a trav´es de les quals les part´ıcules poden abandonar el domini.
En particular, es calcula asimpt`oticament el temps mitj`a d’escapament d’un conjunt
de part´ıcules, ent`es com el temps que passa fins que una primera part´ıcula abandona el
domini a trav´es d’una finestra. A m´es, s’estudia com el rati d’escapament de part´ıcules,
que ´es l’invers del par`ametre anterior, creix quan s’incrementa el nombre de part´ıcules
movent-se en el domini, veient si aquest creixement ´es lineal, sub-lineal o s´uper-lineal. Aix´ı
mateix, es veu com aquests resultats depenen tant de la distribuci´o inicial de part´ıcules,
com de si aquestes s´on finites o puntuals. Per tal de provar aquests resultats, s’utilitza el
m`etode d’encaix d’expansions asimpt`otiques, que pel cas de part´ıcules finites resulta molt
t`ecnic i interessant.
Finalment, els resultats del projecte es verifiquen mitjan¸cant dos m`etodes independents
i diferenciats. Primerament, es realitzen simulacions de Monte Carlo basades en el m`etode
d’Euler-Maruyama per a equacions diferencials estoc`astiques, tot simulant la traject`oria
de les part´ıcules Brownianes en el domini abans d’escapar. Finalment, s’implementa
una aproximaci´o num`erica utilitzant el m`etode dels elements finits aplicat a l’equaci´o
en derivades parcials que es pot deduir per a resoldre el problema d’escapament. Tot i
que els c`alculs te`orics s´on per dominis generals, els m`etodes num`erics s’implementen pels
casos del cercle i l’esfera, donant uns resultats m´es que satisfactoris, tot indicant que els
m`etodes asimpt`otics s´on correctes. |