En este artículo presentamos aproximaciones de elementos finitos de alto orden usando métodos variacionales estabilizados de subescalas para aproximar las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas (shallow water equations, en inglés). Escribimos estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones de tipo convección-difusión-reacción (CDR) no lineal y transitorio, y planteamos los desarrollos en este marco general. Los métodos variacionales de multiescala (VMS) se basan en la descomposición de las incógnitas del problema continuo en una parte resoluble en el espacio de elementos finitos y otra que no puede ser capturada por la malla de elementos finitos y que la denominamos subescala. La subescala se aproxima en términos de la solución de elementos finitos, obteniéndose un esquema numérico robusto, que permite en particular igual interpolación para todas las incógnitas y la posibilidad de tratar con flujos de convección dominante (no consideraremos la posibilidad de tratar con choques). Los métodos VMS que consideraremos son los llamados de subscalas algebraicas (ASGS, por Algebraic SubGrid Scales) y subescalas ortogonales (OSS, por Orthogonal Subgrid Scales).

In this article, we present approximations with finite elements of high order using stabilized variational multiscale methods to approximate the equations of motion of a fluid in shallow waters. We write these equations as a system of non-linear and transient convectiondiffusion-reaction (CDR) equations and we perform our developments in this general framework. Variational multiscale methods (VMS) are based on the decomposition of the unknowns of the continuous problem in a resolved component in the finite element space and another component that cannot be captured by the finite element mesh, and that we call subscale. The subscale is approximated in terms of the finite element solution, obtaining a robust numerical scheme, which in particular allows one to use the same interpolation for all unknowns and the possibility to deal with convection dominated flows (we will not consider the possibility of dealing with shocks). The two VMS methodologies that we will consider are called algebraic subscales (ASGS) and orthogonal subscales (OSS).

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