Introducció als tipus d'homotopia d'ordre superior a 1: grups d'homotopia de conjunts simplicials

Abstract

Els grups d'homotopia s'utilitzen en la topologia algebraica per classificar els espais topològics. Mitjançant l'associació de grups amb espais topològics i emprant les valuoses eines de la teoria de grups, enregistren informació sobre la forma bàsica d'un espai. Malauradament, el càlcul dels grups d'homotopia és, en general, més difícil que altres invariants homotòpiques, ja que manquen de propietats compatibles amb la descomposició d'espais. En aquest context s'introdueixen els conjunts simplicials: una construcció purament abstracta que captura aquells espais topològics que es poden representar a partir d'espais més senzills (símplexos) i les seves relacions d'incidència. Centrem l'interès en aquestes estructures perquè és possible definir grups d'homotopia abstractes per conjunts simplicials, i a més, utilitzant transformacions categòriques, es pot comprovar que tenim una equivalència entre aquesta teoria d'homotopia simplicial i la topològica.

Los grupos de homotopía se utilizan en la topología algebraica para clasificar espacios topológicos. Mediante la asociación de grupos con espacios topológicos y empleando las valiosas herramientas de la teoría de grupos, registran información sobre la forma básica de un espacio. Desafortunadamente, el cálculo de los grupos de homotopía es, en general, más difícil que otras invariantes homotópicos, ya que carecen de propiedades compatibles con la descomposición de espacios. En este contexto se introducen los conjuntos simpliciales: una construcción puramente abstracta que captura aquellos espacios topológicos que se pueden representar a partir de espacios más simples (símplices) y sus relaciones de incidencia. Centramos nuestro interés en estas estructuras porque es posible definir grupos de homotopía abstractos para conjuntos simpliciales y, además, utilizando transformaciones categóricas, se puede verificar que tenemos una equivalencia entre esta teoría de homotopía simplicial y la topológica

Homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. By associating groups with topological spaces and employing the valuable tools of group theory, they record information about the basic shape of a space. Unfortunately, computing homotopy groups is generally more challenging than other homotopy invariants, as they lack properties compatible with space decomposition. In this context, simplicial sets are introduced: a purely abstract construction that captures those topological spaces that can be represented using simpler spaces (simplices) and their incidence relations. We focus on these structures because it is possible to define abstract homotopy groups for simplicial sets, and furthermore, by using categorical transformations, it can be shown that there is an equivalence between this simplicial homotopy theory and the topological one.