Aplicacions aritmètiques de la Lògica

Abstract

L'objectiu principal d'aquest treball és donar una solució completa del problema 10 de Hilbert. Aquest demana trobar un algoritme tal que, donada una equació diofantina amb coeficients enters, determini si aquesta té solucions enteres. Per fer-ho construïm els fonaments del llenguatge diofantí, utilitzant, entre d'altres, les solucions de l'equació de Brahmagupta-Pell. En concret, demostrem mecanismes per crear i determinar conjunts i funcions diofantines, etre les quals destaquen l'exponencial, la binomial, la factorial i la productori. A més, introduim les funcions recursives i demostrem l'equivalència d'aquestes amb el llenguatge diofantí. Donada la solució del problema, construïm un polinomi les imatges positives del qual seran tots els nombres primers i establim una formulació de la Hipòtesi de Riemann i de la Conjectura de Goldbach en termes del llenguatge de predicats diofantins desenvolupat prèviament. Finalment, exposarem una breu biografia de la Julia Robinson, una de les màximes contribuïdores en la solució del Problema 10 de Hilbert. En aquesta exposarem les fites acadèmiques més rellevants d'aquesta a més d'un apunt històric de la solució del problema que ens ocupa.

El objetivo principal de este trabajo es dar una solución completa del problema 10 de Hilbert. Este pide encontrar un algoritmo tal que, dada una ecuación diofantina con coeficientes enteros, determine si esta tiene soluciones enteras. Para hacerlo construimos los cimientos del lenguaje diofantí, utilizando, entre otros, las soluciones de la ecuación de Brahmagupta-Piel. En concreto, demuestramos mecanismos para crear y determinar conjuntos y funciones diofantines, etre las cuales destacan el exponencial, la binomial, la factorial y la productori. Además, introduim las funciones recursivas y demuestramos la equivalencia de estas con el lenguaje diofantí. Dada la solución del problema, construimos un polinomio las imágenes positivas del cual serán todos los números primos y establecemos una formulación de la Hipótesis de Riemann y de la Conjetura de Goldbach en términos del lenguaje de predicados diofantins desarrollado previamente. Finalmente, expondremos una breve biografía de Julia Robinson, una de las máximas contribuidoras en la solución del Problema 10 de Hilbert. En esta expondremos los hitos académicos más relevantes de esta además de un apunte histórico de la solución del problema que nos ocupa.

The main purpose of this thesis is to provide a complete solution to Hilbert's problem 10. This problem asks to devise an algorithm such that, given a diophantine equation with integer coefficients, it determines whether it has integer solutions. To do this we build the foundations of diophantine language, using, among others, the solutions of the Brahmagupta-Pell equation. Specifically, we demonstrate mechanisms to create and determine diophantine sets and functions, among which, we highlight the exponential,the binomial,the factorial and the production ones. In addition, we introduce recursive functions and demonstrate their equivalence with Diophantine language. Given the solution of the problem, we construct a polynomial whose positive images will be all prime numbers and establish a formulation of the Riemann hypothesis and the Goldbach Conjecture in terms of the previously developed diophantine predicate language. Finally, we will present a brief biography of Julia Robinson, one of the greatest contributors to the solution of Hilbert's tenth Problem . In this we will present the most relevant academic milestones of this as well as a historical note of the solution of the problem we are dealing with.