El problema de Dido: algunes reflexions sobre l'ensenyament de problemes isoperimètrics

Abstract

Entre totes les corbes planes tancades amb perímetre fix, quina figura maximitza l'àrea de la regió que tanquen?" La solució a aquest problema és la circumferència. Molts matemàtics coneguts al llarg de la història han treballat en aquest problema des de diferents punts de vista. Recentment, s'ha descobert una prova donada per Thomas Simpson. Un dels propòsits d'aquest treball és analitzar i estudiar aquesta prova. Fins a aquest descobriment, Jakob Steiner era el matemàtic més relacionat amb la prova del problema isoperimètric. Per tant, es compara la prova donada per Simpson i la donada per Steiner. Inicialment, sembla que ambdues proves tenen molt en comú, però després d'un anàlisi profund, la conclusió mostra que no és així. Finalment, es proposen algunes activitats pedagògiques basades en aquest problema i les seves diferents proves, per motivar l'estudiantat de secundària i mostrar-los que les matemàtiques són molt més que simplement aplicar algunes fórmules. Aquestes activitats també mostren a l'alumnat que hi ha diferents maneres de resoldre un problema.

El problema isoperimétrico puede enunciarse como: "Entre todas las curvas planas cerradas con perímetro fijo, ¿qué figura maximiza el área de la región que encierra?" La solución a este problema es la circunferencia. Muchos matemáticos conocidos a lo largo de la historia han trabajado en este problema desde distintos puntos de vista. Recientemente, se ha descubierto una prueba dada por Thomas Simpson. Uno de los propósitos de este trabajo es analizar y estudiar esta prueba. Hasta este descubrimiento, Jakob Steiner era el matemático más estrechamente relacionado con la prueba del problema isoperimétrico. Así pues, se compara la prueba dada por Simpson y la dada por Steiner. Inicialmente, parece que ambas pruebas tienen mucho en común, pero tras un análisis profundo, la conclusión muestra que no es así. Finalmente, se proponen algunas actividades pedagógicas basadas en este problema y sus diferentes pruebas, para motivar a los estudiantes de secundaria y mostrarles que las matemáticas son mucho más que simplemente aplicar fórmulas. Estas actividades también muestran a los estudiantes que hay diferentes maneras de resolver un problema.

The isoperimetric problem can be stated as: "Among all closed curves in the plane of fixed perimeter, which figure maximizes the area of its enclosed region?" The solution to this problem is the circumference. Lots of well-known mathematicians from different eras worked on this problem from different points of view. Recently, a proof given by Thomas Simpson has been discovered. One purpose of this work is to analise and study this proof. Jakob Steiner is the mathematitian most closely related to the proof of the isoperimetric problem. A comparison is made between the proof given by Simpson and the one given by Steiner. Firstly, it seems that both proofs have a lot in common, but after a deep analisis, the conclusion show that they aren't. Finally, some pedagogic activities based on this problem and its diferent proofs are proposed, to motivate the students from high school and show them that mathematics are much more than just applying some formulas. This activites also show the students that there are different ways of solving one problem.