Variational integrators for Lagrangian and Hamiltonian systems

Abstract

Els formalismes lagrangià i hamiltonià ofereixen marcs potents per analitzar la dinàmica dels sistemes mecànics. Una comprensió més profunda d'aquests s'aconsegueix mitjançant l'ús de les eines de la geometria diferencial. Aquestes eines també es poden aplicar per millorar els mètodes numèrics clàssics tot preservant les estructures geomètriques subjacents del sistema. Aquests mètodes, coneguts com a integradors geomètrics, solen ser més robustos i demostren una millor estabilitat a llarg termini.

L'objectiu d'aquest treball de fi de grau és l'estudi dels integradors geomètrics. Primer repassem els conceptes bàsics de mecànica lagrangiana i hamiltoniana, així com les seves versions discretitzades. En lloc de les equacions dinàmiques, es discretitzen els principis variacionals, de manera que es poden dissenyar integradors geomètrics (variacionals i simplèctics) a fi que les estructures geomètriques corresponentses preservin pel flux discret. Presentem exemples dels integradors variacionals més coneguts, així com eines per a construir-ne de millors i analitzar-ne el rendiment. Compararem aquests mètodes, tant en velocitat com en precisió, amb els ben coneguts mètodes de Runge-Kutta, tot aplicant-los a diversos exemples, incloent-hi el pèndol simple i el problema dels n cossos.

Lagrangian and Hamiltonian formalisms offer powerful frameworks for analysing the dynamics of mechanical systems. A deeper insight into them is achieved by the usage of the tools of differential geometry. These tools can also be applied to improve the classical numerical methods by preserving the underlying geometric structures of the system. These methods, referred to as geometric integrators, are usually more robust and demonstrate better long-term stability.

The aim of this bachelor’s thesis is the study of geometric integrators. First, we review the basic facts about Lagrangian and Hamiltonian mechanics, as well as of their discretised versions. By discretising the variational principles, rather than the dynamical equations, geometric integrators (variational and symplectic) can be devised in such a way that the corresponding geometric structures are preserved under the discrete flow. We present examples of the most well-known variational integrators, as well as tools for constructing better ones and analysing their performances. We compare these methods, both in speed and accuracy, with the well-known Runge–Kutta methods by applying them to several examples, including the simple pendulum and the n-body problem.