Fractional Brownian Motion in Stochastic Financial Modeling

Abstract

En aquesta tesi, hem desenvolupat els elements fonamentals del càlcul de Malliavin utilitzant l’enfocament basat en el desenvolupament en caos de Wiener-Itô, tal com es presenta a l’obra "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance". Aquest marc ens ha permès definir rigorosament la derivada de Malliavin i altres operadors relacionats, com la integral de Skorokhod i la fórmula de Clark-Ocone. També hem estudiat el moviment Brownnià fraccionari (fBm), fent èmfasi en les seves propietats úniques i en la motivació per estendre l’anàlisi estocàstica clàssica més enllà del context dels semimartingales. Amb aquestes eines, hem investigat el comportament asimptòtic a curt termini de la volatilitat implícita at-the-money (ATMI) dins del model rough Bergomi, mostrant com el càlcul de Malliavin permet una descomposició precisa que capta l’impacte de la correlació i de la rugositat del camí de la volatilitat.

In this thesis, we have developed the core elements of Malliavin calculus using the Wiener-Itô chaos expansion approach, as framed in "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance". This framework allowed us to rigorously define the Malliavin derivative and related operators, such as the Skorokhod integral and the Clark-Ocone formula. We also studied the fractional Brownian motion (fBm), emphasizing its unique properties and motivation for extending classical stochastic analysis beyond the semimartingale setting.

Using these tools, we investigated the short-time asymptotic behavior of at-the-money implied volatility (ATMI) within the rough Bergomi model, showing how Malliavin calculus facilitates a precise decomposition that captures the impact of correlation and the roughness of the volatility path.