Relative Equilibria and Hamiltonian Methods in Satellite Dynamics

Abstract

The dynamics of a rigid body in a central gravitational field can be modelled by a Hamiltonian system with continuous symmetries implemented by an action of the group SO(3). There are many classical studies of steadily rotating solutions of this system based on various approximate models of the orbital-attitude coupling of artificial Earth satellites, but these models don't fully exploit the geometric structure of the problem. [WKM90] provides a geometrical description of this problem and studies its relative equilibria. Our approach consists in attacking this problem by means of the Reduced-Energy-Momentum [SLM91]. One novelty of this work with respect to previous approaches is that we also treat axisymmetric bodies using this geometric formalism. Employing these techniques we are able to explicitly find previously unknown relative equilibria and to study their stability and bifurcation patterns. In addition to the study of relative equilibria, we will use numerical continuation techniques to find periodic motions for nearly axisymmetric bodies and we will consider control techniques using internal moving rotors.

La dinámica de un sólido rígido en un campo gravitatorio central puede ser modelada como un sistema hamiltoniano con una simetría continua dada por la acción del grupo SO(3). Existen muchos estudios clásicos de soluciones estacionarias del sistema, basados en diferentes modelos aproximados del acoplamiento entre el movimiento orbital y el rotacional. Estos tratamientos no utilizan toda la estructura geométrica del problema. [WMK90] proporciona una descripción geométrica del problema y estudia sus equilibrios relativos. Nuestro enfoque se basa en atacar el problema utilizando el Reduced-Energy-Momentum method [SLM91]. Una novedad de este trabajo respecto a estudios previos es que también trata cuerpos axisimétricos utilizando este formalismo geométrico. Utilizando estas técnicas podemos encontrar explícitamente equilibrios relativos previamente no conocidos y estudiar su estabilidad y las bifurcaciones entre ellos. Además del estudio de equilibrios relativos, utilizaremos técnicas de continuación numérica para encontrar soluciones periódicas para cuerpos casi-axisimétricos y consideraremos métodos de control utilizando el movimiento de rotores internos.

La dinàmica d'un sòlid rígid en un camp gravitatori central pot ser modelada com un sistema Hamiltonià amb una simetria contínua donada per l'acció del grup SO(3). Hi ha molts estudis clàssics de solucions estacionàries del sistema, basades en diversos models aproximat de l'acoblament entre el moviment orbital i el de rotació per a satèl·lits terrestres. Aquests tractaments no fan ús de tota l'estructura geomètrica del problema. [WKM90] proporciona una descripció geomètrica del problema i estudia els seus equilibris relatius. El nostre enfocament es basa a atacar el problema utilitzant el Reduced-Energy-Momentum method [SLM91]. Una novetat d'aquest treball respecte a estudis previs és que també tractem cossos axisimètrics utilitzant aquest formalisme geomètric. Utilitzant aquestes tècniques podem trobar explícitament equilibris relatius prèviament no coneguts i estudiar la serva estabilitat i bifurcacions entre ells. A més de l'estudi d'equilibris relatius, utilitzarem tècniques de continuació numèrica per trobar solucions periòdiques per a cossos quasi axisimètrics i considerarem tècniques de control utilitzant el moviment de rotors interns.