Frequentist confidence intervals for ill-posed inverse problems: Theory and applications

Abstract

Abordem la quantificació de la incertesa per a problemes inversos lineals mal plantejats, on el model directe pot tenir deficiència de rang, es coneix la distribució del soroll i els paràmetres estan subjectes a restriccions. Basant-nos en el marc d’inversió de proves de Batlle et al. 2023 i en els avenços recents de Stanley, Batlle et al. 2025, presentem nous resultats teòrics i tres mètodes escalables, sense mostreig, per generar intervals de confiança. Aquests mètodes superen la necessitat de resoldre problemes d’optimització que impliquen funcions quantil mitjançant mostreig —un coll d’ampolla computacional en enfocaments anteriors. El nostre enfocament inclou la derivació de cotes superiors per als valors crítics de decisió, la transformació de problemes generals en casos més senzills i ben entesos, i la modificació d’estadístiques de prova per aprofitar els resultats de Al Mohamad et al. 2020. També proposem canvis en el conjunt de restriccions que milloren el rendiment. Experiments numèrics amb dades sintètiques i reals —de Patil, Kuusela i Hobbs 2022 i Stanley, Patil i Kuusela 2022— il·lustren els punts forts i febles dels mètodes proposats.

Abordamos la cuantificación de la incertidumbre para problemas inversos lineales mal plan teados, donde el modelo directo puede tener deficiencia de rango, se conoce la distribución del ruido y los parámetros están sujetos a restricciones. Basándonos en el marco de inversión de pruebas de Batlle et al. 2023 y en los avances recientes de Stanley, Batlle et al. 2025, presentamos nuevos resultados teóricos y tres métodos escalables, sin muestreo, para generar intervalos de confianza. Estos métodos superan la necesidad de resolver problemas de optimi zación que implican funciones cuantil mediante muestreo, un cuello de botella computacional en enfoques anteriores. Nuestro enfoque incluye la derivación de cotas superiores para va lores críticos de decisión, la transformación de problemas generales en casos más simples y mejor entendidos, y la modificación de estadísticas de prueba para aprovechar los resultados de Al Mohamad et al. 2020. También proponemos cambios en el conjunto de restricciones que mejoran el rendimiento. Experimentos numéricos tanto en datos sintéticos como reales —de Patil, Kuusela y Hobbs 2022 y Stanley, Patil y Kuusela 2022— ilustran las fortalezas y compensaciones de los métodos propuestos.

Weaddress uncertainty quantification for ill-posed linear inverse problems, where the forward model may be rank-deficient, the noise distribution is known, and parameters are subject to constraints. Building on the test inversion framework of Batlle et al. 2023 and recent ad vances in Stanley, Batlle, et al. 2025, we present new theoretical results and three scalable, sampling-free methods for generating confidence intervals. These methods overcome the need to solve optimization problems involving quantile functions via sampling — a computational bottleneck in previous approaches. Our approach includes deriving upper bounds on criti cal decision values, transforming general problems into better-understood easier cases, and modifying test statistics to leverage results from Al Mohamad et al. 2020. We also propose changes to the constraint set that improve performance. Numerical experiments on both syn thetic and real data—from Patil, Kuusela, and Hobbs 2022 and Stanley, Patil, and Kuusela 2022—illustrate the strengths and trade-offs of the proposed methods.

Outgoing