Fractional powers of the Laplace operator

Abstract

Aquesta tesi tracta sobre l'estudi de les potències fraccionaries de l'operador laplacià. Al primer capítol estudiarem diverses definicions i interpretacions d'aquest operador a $\R^n$, que denotarem per $(-\Delta)^s$ amb $s \in (0,1)$, explorant les seves connexions amb processos probabilístics, l'anàlisi de Fourier, un problema d'extensió i el semigrup de l'equació de la calor. Al segon mirarem una altra manera de definir-lo quan ens trobem en un domini fitat $\Omega \subset \R^n$ via la descomposició espectral del laplacià amb unes certes condicions de vora $V$ i el denotarem per $(-\Delta)^s_{V,\Omega}$. Per últim, a la darrera part estudiarem quina és la relació entre $\lim_{\Omega\to \R^n}(-\Delta)^s_{V,\Omega}$ i $(-\Delta)^s$ quan $\Omega$ és un rectangle n-dimensional. Aquest resultat final constitueix una contribució nova a la literatura ja existent.