El teorema de Pick: context, proves i aplicacions per a l'ensenyament preuniversitari

Abstract

El Teorema de Pick és un resultat geomètric que ens permet calcular l'àrea de polígons inscrits al pla enter, a partir del nombre de punts enters que hi ha a la vora i a l'interior del polígon. En aquest treball abordaré la demostració d'aquest teorema, així com una ampliació de la recerca associada. Finalment, presentaré diverses propostes didàctiques per a la seva exposició a alumnes preuniversitaris. L'objectiu és promoure la comprensió i aplicació del teorema de Pick com a eina per a resoldre problemes pràctics, desenvolupar habilitats de raonament geomètric i oferir una nova perspectiva sobre aquesta àrea de coneixement.

El Teorema de Pick es un resultado geométrico que nos permite calcular el área de polígonos inscritos en el plano de números enteros, a partir del número de puntos enteros que hay en el borde y en el interior del polígono. En este trabajo abordaré la demostración de este teorema, así como una ampliación de la investigación asociada. Finalmente, presentaré varias propuestas didácticas para su exposición a alumnos preuniversitarios. El objetivo es promover la comprensión y aplicación del teorema de Pick como herramienta para resolver problemas prácticos, desarrollar habilidades de razonamiento geométrico y ofrecer una nueva perspectiva sobre esta área de conocimiento.

The Pick's Theorem is a geometric result that allows us to calculate the area of polygons inscribed in the integer plane, based on the number of integer points on the boundary and in the interior of the polygon. In this paper, I will address the proof of this theorem, as well as an extension of the associated research. Finally, I will present various didactic proposals for its exposition to pre-university students. The main goal is to promote understanding and application of Pick's Theorem as a tool for solving practical problems, developing geometric reasoning skills, and offering a new perspective on this area of knowledge.